Роденият в Благоевград Борислав Цонев започва да тренира футбол в Пирин (Благоевград). Забелязвайки неговия талант Левски прави всичко възможно да го привлече. През 2009 година Борислав, заедно с неговия брат близнак Радослав, акостират на „Герена“.
Талантливият халф прави своя дебют в за мъжкия отбор на Левски на 27 май 2011 г. 16-годишният Боби, заменя Владимир Гаджев в края на домакинската победа с 3:0 над Монтана в последния кръг на сезон 2010/11. Навършвайки 18 години, Цонев подписва първия си професионален договор с Левски, който е с продължителност от 3 сезона.
През сезон 2013/14 Борислав започва да попада по-често в състава на Левски. Резултатите не закъснява и на 18 септември 2013 г. бележи първия си гол за клуба при победата с 4:0 над Пирин (Гоце Делчев) в турнира за Купата на България. През лятото на 2014 г. получава сходна със сегашната му контузия – скъсана предна връзка на коляното. Възстановяването му продължава близо 9 месеца. Завръща се в игра в началото на 2015 г., като до края на сезон 2014/15 бележи 3 гола в „А“ група в общо 9 мача.
Сезон 2015/16 започва изключително добре за полузащитника. Той успява да се наложи като твърд титуляр в Левски, а на 8 август 2015 г. бележи единственото попадение при важната победа с 1:0 над Черно море като гост. В началото на септември обаче, отново къса връзка на коляното (за втори път) в среща на Младежкия национален отбор срещу Люксембург.
На 11.10.16г. Борислав Цонев решава да продължи своята кариера в Берое (Стара Загора) като си тръгва от „Герена“ изиграл 42 срещи за представителния отбор, в които отбелязва 5 гола. По това време в интервю пред медиите Цонев споделя и причината да се раздели с отбора на сърцето си: „По-скоро причината бе, че в Левски не залагат толкова на свои кадри. Просто не се вярва достатъчно в младите.“.
В старозагорския тим успява да се наложи като твърд титуляр. Борислав се превърща в основен играч на Берое, както играе на много високо ниво. С играта си по онова време попада дори в националния отбор на България. По време на престоя си в града под Аязмото халфът изиграва 69 мача и отбелязва 13 гола.
На 14.02.2019г. Хърватският Интер (Запрешич) официално представи новото си попълнение Борислав Цонев. 23-годишният халф идва от Берое, след като откупната му клауза бива активирана. Цонев преминава успешно медицински прегледи, след което парафира с новия си клуб. По това време Интер (Запрешич) е на осмо място в класирането на хърватското първенство. В отбора се разчита на много млади футболисти. Хърватският клуб не успява да се спаси от изпадане, но Цонев се представя на доста добро ниво. Той е третият най-фаулиран футболист в шампионата, а към него проявяват интерес два отбора от хърватския елит. За 38 мача с екипа на Интер Цонев вкара 10 гола и записа 2 асистенции.
Боби Цонев обаче предпочита да се завърне на „Герена“ и то в един от най-тежките моменти за клуба. Въпреки интереса към него от други отбори, полузащитникът приема офертата на любимия му клуб и се завръща у дома.
Още в първото си интервю пред медиите след завръщането си на „Герена“ след първият си мач Боби заявява:
„Чувствам се добре. Доста съм щастлив съм от факта, че отново съм играч на Левски. Надявам се да съм здрав и да покажа това, на което съм способен“.
„За мен последният един месец беше доста емоционален. Връщам се вкъщи, тренировки и сега мача. Доста ми е приятно, доста добре се чувствам. Надявам се и занапред да е така.
„В началото имах доста сила от желанието и емоцията, но нормално е, не съм играл от 2, 3 месеца и накрая имах проблеми от физическа гледна точка.“, споделя Цонев.
Успехите на Борислав Цонев при неговото завръщане в Левски не закъсняват. Още в първия си мач за „сините“, който той изиграва, дава ясна индикация, че се намира в отлично състояние и притежава необходимата класа за отбор като този на 26-кратните шампиони на България. На 18 Септември 2020 г. Цонев е награден за играч номер 1 на 5-ти кръг на Първа лига.
„Много неща ме накараха да се върна в „Левски“. От малък съм на „Герена“. Още след като Георги Тодоров ми се обади се зарадвах и мислите ми бяха да помогна на отбора.“, споделя Цонев пред медиите.
На 05.10.20г. Левски получи лошата новина относно състоянието на своята звезда. Футболистът се контузи по време на двубоя с Ботев (Враца) и прегледите са показаха, че става дума не за една, а за цели две тежки травми. Той е със скъсана връзка на коляното (за трети път в своята кариера), а освен това е и с увреден глезен. Още в началото на двубоя той напусна на носилка, след като Ивайло Михайлов от врачани се хвърли с главата напред в краката му.
Въпреки тежката контузия на Цонев, на 13.10.20 г. той бе поставен на трето мястото в класацията на Instat за Футболист номер 1 на месец септевмри в българското първенство.
Само няколко дни по-късно, на 19.10.2020 г., идва и още едно признание за Боби от Instat. Звездата на Левски е класиран втори на Балканския полуостров според индекса на Инстат за месец септември. Класацията се прави на базата на данните на една от най-големите компании за футболни анализи и статистика. Играчът с най-висок индекс се определя чрез формула на основа на голове, асистенции, точни подавания, спечелени единоборства и прочее.
Цонев събира 314 пункта, което го нарежда непосредствено след водача Никола Влашич от ЦСКА (Москва), който е ссамо с три пункта над него. Зад Боби остават Сергей Милинкович-Савич, Филип Джуричич, Елиф Елмас, Ясмин Куртич, Матео Ковачич и др.
След третата за Цонев тежка контузия със скъсана връзка на коляното, той заяви вчера в телевизионно интервю за bTV: „60 метра ни делят от мечтата – отново да се завърнем на терена на „Георги Аспарухов“.
Екипът на Gerena.bg пожелава на братята Борислав и Радослав бързо възстановяване и скорощно завръщане на зеления терен.
